1
Xuất phát từ đường tròn đơn vị: Định nghĩa thống nhất và mối quan hệ cơ bản của hàm lượng giác cho góc bất kỳ
MATH1001CA-PEP-CNLesson 6
00:00
θP(x,y)OĐường tròn đơn vị (r = 1)xy
Từ hàm lượng giác góc nhọn ở bậc trung học cơ sở (cạnh đối / cạnh huyền), khi chúng ta đối diện với các góc lớn hơn $90^\circ$ hoặc góc âm, tam giác vuông về mặt hình học không còn phù hợp nữa. Lúc này,đường tròn đơn vịtrở thành công cụ cốt lõi để thống nhất mọi góc và định nghĩa các hàm lượng giác.

1. Định nghĩa hàm lượng giác cho góc bất kỳ

Giả sử $\alpha$ là một góc bất kỳ, tia cuối của nó cắt đường tròn đơn vị tại điểm $P(x, y)$, khi đó ta định nghĩa:

  • Sin (Sine): $\sin \alpha = y$
  • Cos (Cosine): $\cos \alpha = x$
  • Tan (Tangent): $\tan \alpha = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)$

Nếu điểm $P(x, y)$ nằm trên đường tròn bán kính $r$, thì $\sin \alpha = \frac{y}{r}, \cos \alpha = \frac{x}{r}, \tan \alpha = \frac{y}{x}$.

2. Các công thức cơ bản giữa các hàm lượng giác cùng góc

Từ phương trình đường tròn đơn vị $x^2 + y^2 = 1$ suy ra trực tiếp:

1. Mối quan hệ bình phương: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
2. Mối quan hệ thương số: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Hơn nữa, trong toán học cao cấp, hàm lượng giác có thể được tính gần đúng bằngcông thức Taylorđể tính gần đúng giá trị số, ví dụ: $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$, điều này cho thấy mối liên hệ sâu sắc giữa hàm lượng giác và đa thức đại số.